2019-09-11

単項的（分解可能）p-ベクトルについて

数学

少し前に書いた記事：

ypcpl.hatenadiary.jp

を読み返していて思いついたことのメモ．

$K$ を体， $n$ を自然数として $V$ を $n$ 次元 $K$ ベクトル空間とする．各 $p \in \{ 0,\ldots,n \}$ と $α \in \bigwedge^p V$ に対して， $α$ との外積をとるという $V$ から $\bigwedge^{p+1} V$ への線形写像を $f_{p,α}$ と書くことにする：

\[ f_{p,α} : V → \bigwedge^{p+1} V ;\; v \mapsto α ∧ v . \]

このとき次の定理が成り立つ．

定理 $p \in \{ 0,\ldots, n \}$ とする． $α \in \bigwedge^p V$ が単項的であることの必要十分条件は $f_{p,α}$ のランクが $0$ または $n-p$ となることである．

証明：

（必要性） $α = 0$ ならば任意の $v \in V$ に対して $α ∧ v = 0$ となるので， $\mathrm{rank}f_{p,α} = 0$ である． $α \neq 0$ であり，ある $v_1,\ldots,v_p \in V$ を用いて $α = v_1 ∧ \cdots ∧ v_p$ と表されたとする．このとき $v_1,\ldots,v_p$ は1次独立であるので， $v_1,\ldots,v_n$ が $V$ の基底となるように $v_{p+1},\ldots,v_n \in V$ を取ることができる． $i = 0,\ldots,p$ に対しては $f_{p,α}(v_i) = 0$ となる． $v_{p+1},\ldots,v_n$ の取り方から各 $i = p+1,\ldots,n$ に対して $v_1,\ldots,v_p,v_i$ は1次独立となるので， $f_{p,α}(v_i) = v_1 ∧ \cdots ∧ v_p ∧ v_i$ は $0$ でない． $v_1 ∧ \cdots ∧ v_p ∧v_i (i = p+1,\ldots,n)$ は1次独立であるので， $\mathrm{Im}f_{p,α}$ の基底であり，従って $\mathrm{rank}f_{p,α} = n-p$ である．

（十分性） $k = \mathrm{dim}\,\mathrm{ker}f_{p,α}$ とおき， $v_1,\ldots,v_k$ が $\mathrm{ker}f_{p,α}$ の基底， $v_1,\ldots,v_n$ が $V$ の基底となるように $v_1,\ldots,v_n \in V$ を取る．このとき，ある $a_{i_1 \cdots i_p} \in K (1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_p \leq n)$ を用いて

\[ α = \sum_{1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_p \leq n} a_{i_1 \cdots i_p} v_{i_1} ∧ \cdots ∧ v_{i_p} \]

と表せる．各 $i = 1,\ldots,k$ に対して

\[ f_{p,α}(v_i) = \sum_{\substack{1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_p \leq n \\ i_1,\ldots,i_p \neq i}} a_{i_1 \cdots i_p} v_{i_1} ∧ \cdots ∧ v_{i_p} ∧ v_i = 0 \]

である． $v_{i_1} ∧ \cdots ∧ v_{i_{p+1}} (1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_{p+1} \leq n)$ は1次独立であるので，上の式の右辺の各係数はゼロ，つまり $i_1,\ldots,i_p$ がいずれも $i$ とは異なるならば $a_{i_1 \cdots i_p} = 0$ である．これがすべての $i = 1,\ldots,k$ に対して成り立つので， $\{ 1,\ldots,k \} \nsubseteq \{ i_1 ,\ldots, i_p \}$ であるような $1 \leq i_1 \lt \cdots \lt i_p \leq n$ に対しては $a_{i_1 \cdots i_p} = 0$ である．

さて， $\mathrm{rank}f_{p,α} = 0,n-p$ であったので， $k=n,p$ である．まず $k=n$ の場合を考える． $i_1,\ldots,i_p$ の中に $1,\ldots,n$ がすべて現れていなければ $a_{i_1 \cdots i_p} = 0$ であったので， $0 \leq p \lt n$ ならば $α = 0$ ， $p = n$ ならば $α = a_{1 \cdots n} v_1 ∧ \cdots ∧ v_n$ となっていずれも単項的である．次に $k=p$ の場合を考える． $\{ 1,\ldots,p \} \nsubseteq \{ i_1 ,\ldots, i_p \}$ ならば $a_{i_1 \cdots i_p} = 0$ であるので， $α = a_{1\cdots p} v_1 ∧ \cdots ∧ v_p$ となり単項的である．∎

ちゃんと書こうとすると意外に長くなってしまった．もっと簡潔にできないものか．なお，この定理から直ちに次のことがわかる．

系 $\bigwedge^{n-1} V, \bigwedge^n V$ の元はすべて単項的である．

証明： $\mathrm{dim}\bigwedge^n V = 1, \mathrm{dim}\bigwedge^{n+1} V = 0$ であるので，任意の $α \in \bigwedge^{n-1} V$ に対して $\mathrm{rank}f_{n-1,α} = 0,1$ ，また任意の $β \in \bigwedge^n V$ に対して $\mathrm{rank}f_{n,β} = 0$ である．よって上の定理から従う．∎

$p = 0,1$ に対してはこの系のように簡単に次元から絞り込むことはできないが，定義を思い出してみれば， $\bigwedge^0 V = K, \bigwedge^1 V = V$ の元はtrivialに単項的である．（一応 $f_{p,α}$ のランクを見てみても， $\mathrm{rank} f_{0,0} = 0$ ， $a \in K \setminus {0}$ に対して $\mathrm{rank}f_{0,a} = n$ ， $\mathrm{rank} f_{1,0} = 0$ ， $v \in V \setminus {0}$ に対して $\mathrm{rank}f_{1,v} = n-1$ はほぼ明らか．）

以前の記事で挙げた例の $V = K^4, α = e_1 ∧ e_2 + e_3 ∧ e_4 \in \bigwedge^2 V$ では， $α ∧ e_i$ は $i=1,\ldots,4$ のいずれに対してもゼロにはならないので $\mathrm{ker}f_{2,α} = 0$ である．これは $n=4$ にも $p=2$ にも等しくないので，上の定理から $α$ が単項的でないことがわかる．

追記（2019/09/19）：自分で思いついたことをまとめただけで特にこのことについて調べていなかったが，目新しいアイディアだとは思っていなかったので一応検索してみた．ちょっと見てみて出てきたページが次の通り：

[1]：Poly-vector - Encyclopedia of Mathematics

[2]：Exterior product - Encyclopedia of Mathematics

[3]：linear algebra - Decomposable elements of $\Lambda^k(V)$ - Mathematics Stack Exchange

[1]では $\mathrm{ker}f_{p,α}$ にあたるものを $\mathrm{Ann}\,α$ として同じことが書いてあったのに加えて，decomposable以外にもfactorable, pure, primeという用語が同じ意味で使われると書いてあった．これらの単語の方が概念に合っていて良さそうだと感じた．[2]には「単項的な $p$ -ベクトルは $V$ の向きづけられた $p$ 次元部分空間を定める」という旨の書き方がされていた．[3]では単なる「単項的」より一般的な" $m$ -decomposable"という概念が定義されていて，上と同様の議論によって多少一般的な命題が示されていた．（日本語で「 $m$ -単項的」とか「 $m$ -分解可能」とするとどうしても違和感があるがこういう場合はどんな訳語をあてるんだろうか．）

2019-08-22

(n-1)-ベクトルはすべて単項的

数学

1か月くらい前にブログにしようかと思って結局書いてなかったことを思い出したので書いてみます．

はじめに

まず言葉を定義しておきます． $K$ を体， $V$ を $K$ 上の $n$ 次元ベクトル空間とします． $0 \leq p \leq n$ に対して $\bigwedge^p V$ の元を $p$ -ベクトルと呼ぶことにします． $p$ -ベクトルは一般には

\[ \sum_{i=1}^k v_1^{(i)} ∧ \cdots ∧ v_p^{(i)} \; (v_1^{(1)}, \ldots, v_p^{(k)} \in V) \]

の形に表されますが， $v_1 ∧ \cdots ∧ v_p (v_1, \ldots, v_p \in V)$ のように $V$ の $p$ 個の元の外積で表されるものは単項的，もしくは分解可能であると言われます*1．

さて，[1]の70ページに次のような記述がありました．

$V$ が $n$ 次元であれば， $0, 1, (n-1), n$ 次のベクトル・コベクトル・捩ベクトル・捩コベクトルはすべて単項的である（証明は各自試みてほしい）．

ここで， $p$ 次のベクトルというのは $p$ -ベクトルと同じことです．コベクトル・捩ベクトル・捩コベクトルについてはこの記事では触れません．これを読んだとき， $(n-1)$ -ベクトルが必ず単項的であることの証明がすぐには思いつきませんでした．良くない癖でこういうときにちゃんと時間をかけて考えずに答えを見つけようと調べてしまうのですが，「単項的」という言葉から英語で"monomial"として色々検索しても結局見つからず，Wikipedia[2]に分解可能（decomposable）という言葉を見つけて[3]の証明を発見しました．この証明は一度わかってしまえば簡単で，大層な命題というわけでもない（と思う）のですが，外積の直観的イメージにも合うしおもしろいと感じたので，自分でまとめ直してブログに残してみようと思った次第です*2．

なお， $0, 1, n$ に関してはほぼ自明です．実際， $1$ -ベクトルは $V$ の元そのものですし， $\bigwedge^0 V$ と $\bigwedge^n V$ はともに $1$ 次元です．

証明の流れ

$\alpha \in \bigwedge^{n-1} V$ として，これが単項的であることを示すのが目標です．ただし $0$ は明らかに単項的なので， $\alpha \neq 0$ であるとしておきます．

まず次のような写像を考えます：

\[ f: V → \bigwedge^n V;\; v \mapsto v ∧ \alpha . \]

外積の線形性から $f$ が線形写像であることがわかります．そこで $f$ のランクがどうなっているかを見てみます．そのために $V$ の基底 $e_1, \ldots, e_n$ をひとつとります．このとき $e_1 ∧ \cdots ∧ \widehat{e_i} ∧ \ldots e_n$ たちは $\bigwedge^{n-1} V$ の基底となるのでした．ここで， $e_1 ∧ \cdots ∧ \widehat{e_i} ∧ \ldots e_n$ は $e_i$ 以外の $e_j$ たちを外積したもの，つまり

\[ e_1 ∧ \cdots ∧ \widehat{e_i} ∧ \ldots e_n = e_1 ∧ \cdots ∧ e_{i-1} ∧ e_{i+1} ∧ \cdots ∧ e_n \]

です．これを用いて

\[ \alpha = \sum_{i=1}^n a_i e_1 ∧ \cdots ∧ \widehat{e_i} ∧ \ldots e_n \; (a_1, \ldots, a_n \in K) \]

と表しておきます．すると，外積の交代性・次数付き反対称性を用いて計算して

\[ f(e_i) = (-1)^{i-1} a_i e_1 ∧ \cdots ∧ e_n\]

であることがわかります．つまり， $V$ の基底 $e_1, \ldots, e_n$ と $\bigwedge^n V$ の基底 $e_1 ∧ \cdots ∧ e_n$ に関する $f$ の行列表示は

\[ \left( \begin{array}{c} a_1 & -a_2 & \cdots & (-1)^{n-1}a_n \end{array} \right) \]

です． $\alpha \neq 0$ と仮定していたことを思い出すと， $a_1, \ldots, a_n$ のうち少なくともひとつは $0$ ではありません．従ってこの行列のランク，つまり $f$ のランクは $1$ です．

いわゆる「次元定理」により， $f$ の核が $(n-1)$ 次元であることがわかります． $\mathrm{ker}f$ の基底 $d_1, \ldots, d_{n-1}$ をとり，さらに $d_1, \ldots, d_n$ が $V$ の基底となるように $d_n$ をとります．新しい基底を用いて，改めて

\[ \alpha = \sum_{i=1}^n b_i d_1 ∧ \cdots ∧ \widehat{d_i} ∧ \ldots d_n \; (b_1, \ldots, b_n \in K) \]

と表します．上と同様に

\[ f(d_i) = (-1)^{i-1} b_i d_1 ∧ \cdots ∧ d_n\]

であることがわかりますが，定義より $d_1, \ldots, d_{n-1} \in \mathrm{ker}f$ なので， $b_1, \ldots, b_{n-1}$ は $0$ でなくてはなりません．これで

\[ \alpha = b_n d_1 ∧ \cdots d_{n-1} \]

となり， $\alpha$ が $V$ の $(n-1)$ 個の元の外積で表せました．

証明を振り返って

上の証明は「構成的証明」で， $(n-1)$ -ベクトルがどのようにして $(n-1)$ 個の $1$ -ベクトルの外積で表されるかがよく見えてきます．以下は僕が上の証明に対して感じたなんとなくのイメージで，厳密に何かを議論したりはしていません．

そもそも，外積というのは交代的であること，つまり「同じものどうしをかけるとゼロになること」が重要な性質でした．単項的 $p$ -ベクトル $v_1 ∧ \cdots ∧ v_p$ は $v_1, \ldots, v_p$ との外積をとるとゼロになります．そこで，単項的 $p$ -ベクトル $\alpha \neq 0$ は $v ∧ \alpha$ がゼロになるような $v \in V$ を $p$ 個集めてきてそれらを外積したもの（のスカラー倍）だ，というイメージができます．

ただし， $p$ 個といっても何でもいいわけではありません． $v_1 ∧ \cdots ∧ v_p$ がゼロでないことと $v_1, \ldots, v_p$ が1次独立であることが同値な条件でした．つまり， $p$ 個の1次独立な $1$ -ベクトルが必要なわけです．ここから， $p$ -ベクトル $\alpha$ との外積をとるという線形写像の核を調べれば何かがわかりそうだという気持ちになります．

$p = n-1$ の場合は，上で示したように $(n-1)$ -ベクトル $\alpha$ との外積をとるという $V$ から $\bigwedge^n V$ への線形写像の核の次元が $n-1$ になるため， $\alpha$ は自動的に単項的になるのでした．外積をとる写像の終域 $\bigwedge^n V$ が1次元であるということが本質的な気がしています．

一般の $p$ に対してはこう上手くは行きません．具体例で見てみます． $4$ 次元数ベクトル空間 $V = K^4$ において $e_1, \ldots, e_4$ を標準基底とし， $2$ -ベクトル $\alpha = e_1 ∧ e_2 + e_3 ∧ e_4$ について考えてみます．このとき $e_i ∧ \alpha$ はいずれもゼロにはなりません．こうして，一般には単項的でない $p$ -ベクトルも存在し，そのようなものは「外積をとってゼロになるような $1$ -ベクトルたちの外積」としては捉えられないことがわかります．

参考

[1] 谷村省吾『幾何学から物理学へ物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう』サイエンス社，2019．
[2] 外積代数 - Wikipedia（日本語版），Exterior algebra - Wikipedia（英語版）
[3] differential geometry - $(n-1)$-alternative tensor on E are decomposable - Mathematics Stack Exchange
[4] 斎藤毅『線形代数の世界抽象数学の入り口』東京大学出版会，2007．

*1:余談． $1$ -ベクトルたちの外積に分解されてはいるんですが，そもそも線形結合の形でも単項的ベクトルたちの和に分解されている気がして，「分解可能（decomposable）」という言葉がしっくりきていません．「分解」といえば積なんだろうか？と思ってちょっと考えてみたんですが，行列のJordan分解とか，測度論で出てくるHahn分解，Jordan分解，Lebesgue分解，あとは「直和分解」なんかも和だしそんなことはなさそうです．

*2:そもそも日本語の一般的な教科書でこれについて書いてあるものもきっとあるとは思うので，それを探せばいいのですが，手元にある本には載っていなかったのでインターネットで検索して手っ取り早く解決してしまいました．

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単項的（分解可能）p-ベクトルについて

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